Question

【题目】已知函数

（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若恒成立，求b-a的最小值.

Answer 1

【答案】(1)f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）;(2).

【解析】分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）由题意得，可得函数单调增区间为，减区间为，即恒成立，，即，构造函数，利用导数研究函数的单调性可得，即可得的最小值.

详解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞0）．

f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=0，得x=e．

x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．

函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）；

（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．

令f′（x）=0，得x=ea．x∈（0，e a）时，f′（x）＜0，∈（ea ，+∞）时，f′（x）＞0．

函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea）

∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，

∵f（x）≥0恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥0，则b≥e2a+ea．∴b﹣a≥e2a+ea﹣a

令ea=t，（t＞0），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．

当t∈（0，）时，g′（t）＜0，当时，g′（t）＞0．

∴g（t）在（0，）上递减，在（，+∞）递增．

∴g（t）min=g（）=．f（x）≥0恒成立，b﹣a的最小值为．