Question

已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量e₁=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e₂的坐标之间的关系.

Answer 1

（1）M=（2）矩阵M的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y=0

（1）设M=，则=8=，
故                                            2分
=，故                           4分
联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,
故M=.                                              6分
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（）=（-6）（-4）-8=²-10+16，
故其另一个特征值为="2.                                           " 9分
设矩阵M的另一个特征向量是e₂=，
则Me₂==2，所以,                                   12分
所以矩阵M的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y="0.                 " 14分