经过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线l交双曲线于A.B两点.F2是右焦点.求(1)弦长AB,(2)△F2AB的周长. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

经过双曲线x²-=1的左焦点F₁作倾斜角为的直线l交双曲线于A、B两点，F₂是右焦点，求

（1）弦长AB；

（2）△F₂AB的周长.

试题答案

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思路解析：求弦长可以由弦长公式，而求△F₂AB的周长，由于直线AB过焦点F₁，故可考虑定义或利用焦半径公式.

解法一：由双曲线方程x²-=1,得a=1.b=,c=2.

∴焦点F₁(-2,0),F₂(2,0).

直线AB方程y=(x+2)代入双曲线方程，得8x²-4x-13=0.

设A(x₁,y₁)，B（x₂,y₂）,则x₁,x₂为上述方程的两根.∴

∴AB=|x₁-x₂|=·=3.

解法二：双曲线渐近线斜率为k=±，而直线斜率为，∴交点在两支上.

∴据双曲线第二定义，AF₁=ex₁+a,BF₁=-ex₂-a,∴AB=AF₁-BF₁=ex₁+a-(-ex₂-a)=2a+e(x₁+x₂)=

2×1+2×=3.

（2）由双曲线的第二定义,得

AF₂=-(ex₁-a)=a-ex₁=1-2x₁.BF₂=ex₂-a=2x₂-1,

∴AF₂+BF₂=1-2x₁+2x₂-1=2(x₂-x₁)=2=2=3.

∴△F₂AB的周长为3+3.

方法归纳

求弦长常用的两种方法，一种是利用弦长公式，由韦达定理求解；一种是利用第二定义将过焦点的弦转化为点到焦点的距离来解决.此时需注意端点是两支上还是一支上，若在一支上，则AB=AF+BF；若A、B在两支上，则AB=|AF-BF|.判断交于两支可由韦达定理x₁·x₂＜0得到；也可根据直线的斜率与渐近线斜率的大小关系得到.