Question

设数列{a_n}的通项是关于x的不等式x²-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整数的个数．
（1）求a_n并且证明{a_n}是等差数列；
（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：+≥；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知数列{a_n}的通项是关于x的不等式的解集中整数的个数，题目首先应该解不等式，从不等式的解集中得到整数的个数，得到数列的通项，用等差数列的定义来验证．
（2）根据前面结果写出要用的前几项的和，从不等式的一侧入手，利用均值不等式得到要求的结论．
（3）本题是对上一问的延伸，方法和前面的类似，但题目所给的一般的各项均为正数的等差数列在整理时增加了难度，题目绝大部分工作是算式的整理，注意不能出错．
解答：解：（1）不等式x²-x＜（2n-1）x即x（x-2n）＜0
解得：0＜x＜2n，其中整数有2n-1个
∴a_n=2n-1，
由通项公式可得：a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）由（1）知，
∴S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．
由=
≥=0，
即≥；
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则，
∵=，
把m+p=2k代入上式化简得S_m+S_p-2S_k=≥0，
∴S_m+S_p≥2S_k．
又=
≤===，
∴≥．
故原不等式得证．
点评：本题没有具体的数字运算但运算量非常大，它考查的是等差数列和等比数列的性质，基本不等式，实际上这类问题比具体的数字运算要困难，是几个知识点结合起来的综合问题．