题目内容
设数列{an}的通项an=n2+λn+1，已知对任意n∈N*，都有an+1＞an，则实数λ的取值范围是（ ）
分析：由{an}是递增数列，得到an+1＞an，再由“an=n2+λn+1恒成立”转化为“λ＞-2n-1对于n∈N*恒成立”求解．
解答：解：∵an=n2+λn+1，
∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）+1，
∵an+1＞an，对an=n2+λn+1恒成立
即（n+1）2+λ（n+1）+1＞n2+λn+1，
∴λ＞-2n-1对于n∈N*恒成立．
而-2n-1在n=1时取得最大值-3，
∴λ＞-3，
故选C．
∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）+1，
∵an+1＞an，对an=n2+λn+1恒成立
即（n+1）2+λ（n+1）+1＞n2+λn+1，
∴λ＞-2n-1对于n∈N*恒成立．
而-2n-1在n=1时取得最大值-3，
∴λ＞-3，
故选C．
点评：本题考查的知识点是数列的函数特性，二次函数的性质，其中根据已知条件将问题转化为一个不等式恒成立问题是解答本题的关键．
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