题目内容
已知三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的余弦值．
分析：（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；
（2）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，
的方向为x轴的正向，|
|为单位长，建立坐标系，可得
，
，
的坐标，求出平面BB1C1C的法向量
，代入向量夹角公式，可得答案．
（2）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，
| OA |
| OA |
| BC |
. |
| BB1 |
| A1C |
| n |
解答：证明：（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，
所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，
又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；
解：（2）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．
以O为坐标原点，
的方向为x轴的正向，|
|为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A1（0，
，0），C（0，0，
），B（-1，0，0），
则
=（1，0，
），
=
=（-1，
，0），
=（0，-
，
），
设
=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，
则
，即
，
可取y=1，可得
=（
，1，-1），
故sin＜
，
＞=
=
∴cos＜
，
＞=
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，
所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，
又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；
解：（2）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．
以O为坐标原点，
| OA |
| OA |
可得A（1，0，0），A1（0，
| 3 |
| 3 |
则
| BC |
| 3 |
. |
| BB1 |
. |
| AA1 |
| 3 |
| A1C |
| 3 |
| 3 |
设
| n |
则
|
|
可取y=1，可得
| n |
| 3 |
故sin＜
| n |
| A1C |
|
| ||||
|
|
| ||
| 5 |
∴cos＜
| n |
| A1C |
| ||
| 5 |
点评：本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．
练习册系列答案
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