题目内容

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，且A1A⊥底面ABC，D为AB的中点，G为△ABC1的重心，则|
CG
|的值为（　　）
分析：根据向量的加法、减法法则，用向量
C1A1
，
C1B1
，
C1C
来表示向量
CG
，再求|
CG
|2的值即可解．
解答：解：∵
CG
=
2
3
C1D
-
C1C
=
2
3
×
1
2
×(
C1A
-
C1B
)-
C1C
═
1
3
×(
C1A1
+
A1A
+
C1B1
+
B1B
)-
C1C

=
1
3
（
C1A1
+
C1B1
-
C1C
）
∴
CG
2=|
CG
|2=
1
9
×（|
C1A1
|2+|
C1B1
|2+|
C1C
|2+2×|
C1A1
|×|
C1B1
|×COS
π
3
）=
1
9
×(4+4+4+2×2×2×
1
2
)
=
16
9
．
∴|
CG
|=
4
3
．
故选A．
点评：本题借助考查直线与平面的垂直，考查向量加、减混合运算及其几何意义．
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，AB=2
2
，M，N分别是棱CC1，AB中点．
（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；
（Ⅲ）求三棱锥B1-AMN的体积．
精英家教网如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足
A1P
=λ
A1B1
．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且
A1P
=λ
A1B1
；
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．
精英家教网如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．
（1）求证：BD⊥AC1；
（2）若AB=
2
，AA1=2
3
，求AC1与平面ABC所成的角．

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