题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M，N且当m=-
时，M是椭圆C的上顶点，且△MF1F2的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x=4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x=4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
分析：（1）根据m=-
时，直线的倾斜角为120°，又△MF1F2的周长为6，即可求得椭圆方程；
（2）利用特殊位置猜想结论：当m=0时，直线l的方程为：x=1，求得以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，再进行证明即可．
| ||
| 3 |
（2）利用特殊位置猜想结论：当m=0时，直线l的方程为：x=1，求得以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，再进行证明即可．
解答：解：（1）当m=-
时，直线的倾斜角为120°，又△MF1F2的周长为6
所以：
…（3分）
解得：a=2，c=1⇒b=
，…（5分）
所以椭圆方程是：
+
=1；…（6分）
（2）当m=0时，直线l的方程为：x=1，此时，M，N点的坐标分别是(1，
)，(1，-
)，又A点坐标是（-2，0），
由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，…（8分）
证明如下：
设点M，N点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则直线AM的方程是：
=
，
所以点P的坐标是(4，
)，同理，点Q的坐标是(4，
)，…（9分）
由方程组
得到：3（my+1）2+4y2=12⇒（3m2+4）y2+6my-9=0，
所以：y1+y2=
，y1y2=
，…（11分）
从而：
•
=(4-1)(4-1)+
=9+
=9+
=9+
=0，
所以：以PQ为直径的圆一定过右焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6．…（13分）
| ||
| 3 |
所以：
|
解得：a=2，c=1⇒b=
| 3 |
所以椭圆方程是：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）当m=0时，直线l的方程为：x=1，此时，M，N点的坐标分别是(1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，…（8分）
证明如下：
设点M，N点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则直线AM的方程是：
| y |
| y1 |
| x+2 |
| x1+2 |
所以点P的坐标是(4，
| 6y1 |
| x1+2 |
| 6y2 |
| x2+2 |
由方程组
|
所以：y1+y2=
| -6m |
| 3m2+4 |
| -9 |
| 3m2+4 |
从而：
| F2P |
| F2Q |
| 36y1y2 |
| (x1+2)(x2+2) |
| 36y1y2 |
| (my1+3)(my2+3) |
=9+
| 36y1y2 |
| m2y1y2+3m(y1+y2)+9 |
| -9×36 |
| -9m2-18m2+27m2+36 |
所以：以PQ为直径的圆一定过右焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6．…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用特殊位置，猜想结论，再进行证明．
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