Question

设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x₀∈D，使f（x₀）=-x₀，则称x₀是f（X）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax²-3x-a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，]
分析：根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．
解答：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+=0，
当x=1时，使F（1）=≠0（6分）；
当x≠1时，解得a=（8分），
由a′==0（9分），
得x=2或x=（ ＜1，舍去）（10分），
x（1，2）2（2，4）a′+0-a↗最大值↘（12分），当x=2时，a最大==（13分），
所以常数a的取值范围是（-∞，]（14分）．
故答案为：（-∞，]．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．