Question

设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x₀∈D，使f（x₀）=-x₀，则称x₀是f（X）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax²-3x-a+

5

2

在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是

（-∞，

1

2

]

．

Answer 1

分析：根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+

5

2

=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．

解答：解：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+

5

2

=0，
当x=1时，使F（1）=

1

2

≠0（6分）；
当x≠1时，解得a=

4x-5

2(x2-1)

（8分），
由a′=

-2x2+5x-2

(x2-1)2

=0（9分），
得x=2或x=

1

2

（

1

2

＜1，舍去）（10分），

x	（1，2）	2	（2，4）
a′	+	0	-
a	↗	最大值	↘

（12分），当x=2时，a最大=

4x-5

2(x2-1)

=

1

2

（13分），
所以常数a的取值范围是（-∞，

1

2

]（14分）．
故答案为：（-∞，

1

2

]．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．