Question

已知向量

OP

=(2sin

x

2

，-1)，

OQ

=(cosx+f(x)，sin(

π

2

-

x

2

))，且

OP

∥

OQ

．
（1）求函数f（x）的表达式，并指出f（x）的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=-

2

，bc=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算可求得f（x）的表达式，再利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递减区间；
（2）由（1）知f（x）=-

2

sin（x+

π

4

），结合f（A）=-

2

可求得A，从而可求得△ABC的面积S．

解答：解：（1）依题意知，2sin

x

2

sin（

π

2

-

x

2

）-[cosx+f（x）]×（-1）=0，
整理得：f（x）=-（sinx+cosx）
=-

2

sin（x+

π

4

）；
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得：
2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z．
（2）∵f（A）=-

2

sin（A+

π

4

）=-

2

，
∴sin（A+

π

4

）=1，而△ABC为锐角三角形，
∴A=

π

4

．
又bc=8，
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×sin

π

4

=2

2

．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查解三角形，求得f（x）的表达式是关键，属于中档题．