题目内容

已知向量
OP
=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），
OQ
=（cosx，-1），定义f(x)=
OP
•
OQ
．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（0，2π），当
OP
•
OQ
＜-1时，求x的取值范围．
分析：（1）利用向量的数量积以及二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（0，2π），通过
OP
•
OQ
＜-1，直接求出x的取值范围．
解答：（本小题满分12分）
解：（1）f(x)=
OP
•
OQ
=（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）
=2cos2x+cosx-cos2x-1+sinx
=cosx+sinx=
2
sin(x+
π
4
)
所以，f（x）的最小正周期　T=
2π
1
=2π
（2）∵
OP
•
OQ
＜-1∴sin(x+
π
4
)＜-
2
2

∵x∈（0，2π）∴
π
4
＜x+
π
4
＜
9π
4

由三角函数图象知：
5π
4
＜x+
π
4
＜
7π
4
 ∴π＜x＜
3π
2

∴x的取值范围是(π， 
3π
2
)
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量数量积的应用，考查计算能力，三角函数的形状的应用，常考题型．
练习册系列答案
相关题目
在以下四个命题中，不正确的个数为（　　）
（1）若
a
与
b
-
c
都是非零向量，则
a
 • 
b
=
a
 • 
c
是
a
⊥(
b
-
c
)的充要条件
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
（3）空间三个向量
a
，
b
，
c
，若
a
∥
b
，
 b
∥
c
，  则
a
∥
c

（4）对于任意空间任意两个向量
a
， 
b
，
a
∥
b
的充要条件是存在唯一的实数λ，使
a
=λ
b
．
对向量a=（a1，a2），b=（b1，b2）定义一种运算“?”：a?b=（a1，a2）?（b1，b2）=（a1b1，a2b2），已知动点P、Q分别在曲线y=sinx和y=f（x）上运动，且
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中为O坐标原点），若 
m
=(
1
2
，3)，
n
=(
π
6
，0)，则y=f(x)的最大值为（　　）
定义向量⊕运算：
a
⊕
b
=
c
，若
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），则向量
c
=（a1b1，a2b2）．已知
m
=（
1
2
，2），
n
=（
π
6
，0），且点P（x，y）在函数y=cos2x的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且点P和点Q满足：
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
（其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（　　）
在以下四个命题中，不正确的个数为（　　）
（1）若
a
与
b
-
c
都是非零向量，则
a
 • 
b
=
a
 • 
c
是
a
⊥(
b
-
c
)的充要条件
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
（3）空间三个向量
a
，
b
，
c
，若
a
∥
b
，
 b
∥
c
，  则
a
∥
c

（4）对于任意空间任意两个向量
a
， 
b
，
a
∥
b
的充要条件是存在唯一的实数λ，使
a
=λ
b
．
A．1B．2C．3D．4

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