题目内容

已知向量 $数学公式$ ，当x＞0时，定义函数 $数学公式$ ．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，
①证明：S_n＜2a；
②当a=1时，证明： $数学公式$ ．

解：由题意得 $\text{[math]}$ （x＞0）
令x=tanα $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由 $\text{[math]}$ y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得 $\text{[math]}$ ，所以原函数的反函数 $\text{[math]}$ （0＜x＜1）
（2）证明：因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
②因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以 $\text{[math]}$ ，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1）
所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
进而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
于是 $\text{[math]}$
分析：由题意得 $\text{[math]}$ （x＞0），令x=tanα $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由 $\text{[math]}$ ，反解x可得 $\text{[math]}$ ，所以原函数的反函数 $\text{[math]}$ （0＜x＜1）
（2）因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以 $\text{[math]}$
①利用放缩法． $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
②因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以 $\text{[math]}$ ，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1），所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，进而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 于是可得结论．
点评：本题以新定义为载体，考查函数及反函数的求解，考查不等式的证明，解题的关键是适当放缩，难度较大．