Question

已知向量，当x＞0时，定义函数．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，
①证明：S_n＜2a；
②当a=1时，证明：．

Answer 1

【答案】分析：由题意得（x＞0），令x=tanα，则，由于，所以，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由，反解x可得，所以原函数的反函数（0＜x＜1）
（2）因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以
①利用放缩法．，所以=
②因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1），所以，则，进而，所以于是可得结论．
解答：解：由题意得（x＞0）
令x=tanα，则
由于，所以，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得，所以原函数的反函数（0＜x＜1）
（2）证明：因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以
∴，所以=
②因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1）
所以，则
进而，所以
于是
点评：本题以新定义为载体，考查函数及反函数的求解，考查不等式的证明，解题的关键是适当放缩，难度较大．