Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别是棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求二面角B-A₁D-A的大小；
（2）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定F的位置并证明结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）分别延长AC，A₁D交于G，过C作CM⊥A₁G 于M，∠GMB为二面角B-A₁D-A的平面角．在Rt△CDG中求解即可．
（2）在线段AC上存在一点F，F为AC中点．证明时如下过程：由（1），BC⊥平面A₁C₁CA，得出B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，得出F为AC中点，同理可证EF⊥BD，所以EF⊥平面A₁BD，F为垂足．
解法二：（1）如图建系C-xyz．分别求出平面BA₁D，A₁DA的一个法向量，利用两法向量的夹角求解．
（2）设F（0，y，0），欲使EF⊥平面A₁BD，当且仅当∥，列出关于a的方程并求解即可．
解答：解：法一
（1）分别延长AC，A₁D交于G，
∵BC⊥平面ACC₁A₁，过C作CM⊥A₁G 于M，…（2分）
连接BM，∴BM⊥A₁G，
∴∠GMB为二面角B-A₁D-A的平面角，…（4分）
平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，
∴CG=2，DC=1，在Rt△CDG中，，
∴，
∴二面角B-A₁D-A的大小为．…（6分）
（2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD，F为AC中点…（8分）
证明如下：∵A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，∴B₁C₁∥BC，
∵由（1），BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，
∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，∵F为AC中点，
∴C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D，…（10分）
同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD，
∵E为定点，平面A₁BD为定平面，∴点F唯一．…（12分）
法二
解：（1）∵A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，AC⊥CB，∴如图建系C-xyz．
∵C₁C=CB=CA=2，D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点．
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2），
设平面A₁BD的一个法向量为，
∵=（-2，0，1），，
∴，∴取=（1，-1，2）为平面A₁BD的一个法向量．
又∵平面A₁DA的法向量为=（1，0，0），
∴，
∴二面角B-A₁D-A的二面角为．
（2）∵F在线段AC上，∴设F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD，
欲使EF⊥平面A₁BD，当且仅当∥，
∵=（1，-1，2），=（1，-y，2），∴y=1，
∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件，即点F为AC中点．
点评：本题考查空间垂直的判定．二面角大小求解．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．