Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=AC=a
（1）求证：BC₁⊥平面AB₁C
（2）求二面角B-AB₁-C的大小
（3）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

Answer 1

分析：（1）由正方体的几何特征，我们易证得AC⊥BC，AC⊥CC₁，由线面垂直的判定定理得AC⊥BCC₁B₁，进而AC⊥BC₁，结合BC₁⊥B₁C，和线面垂直的判定定理得到BC₁⊥平面AB₁C
（2）设BC₁∩B₁C=D，过D作DE⊥AB₁，则可得∠BED就是二面角B-AB₁-C的平面角，解Rt△BDE，即可求出二面角B-AB₁-C的大小
（3）根据V_A1-AB1C=V_C-A1AB1，我们分别求出三棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（1）由题意得，在正方形BCC₁B₁中，
BC₁⊥B₁C
又∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，AC⊥CC₁，
∴AC⊥BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁，
∴BC₁⊥平面AB₁C
解：（2）设BC₁∩B₁C=D，过D作DE⊥AB₁，
∴∠BED就是二面角B-AB₁-C的平面角
在Rt△BDE中，sin∠BED=

BD

BE

=

3

2

∴∠BED=

π

3

故二面角B-AB₁-C的大小为

π

3

（3）作CF⊥AB，垂足为F，
∵ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，平面A₁AB⊥平面ABC
∴CF⊥平面A₁AB
∴CF的长就是点C到平面A₁AB的距离
∵V_A1-AB1C=V_C-A1AB1=

1

3

•S_A1AB1•CF=

1

6

a3          （14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积公式，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是根据正方体的几何特征，完成线线垂直和线面垂直之间的反复转化；（2）的关键是证得∠BED就是二面角B-AB₁-C的平面角，（3）的关键是利用等体积法将求求三棱锥A₁-AB₁C的体积转化为求三棱锥C-A₁AB₁的体积．