Question

若半径为R的球与正三棱柱的各个面都相切，则该正三棱柱体积为

 

．

Answer 1

分析：由题意求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积．

解答：解：由题意，正三棱柱的高是直径为2R，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是R，
所以正三角形的边长是2

3

R，
正三角形的高是：3R
正三棱柱的体积 V=

1

2

•2

3

R•3R•2R=6

3

R²．
故答案为：6

3

R²．

点评：本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力，是基础题．