Question

【题目】定义在上的函数满足：对于任意实数都有恒成立，且当时，．

（Ⅰ）判定函数的单调性，并加以证明；

（Ⅱ）设，若函数有三个零点从小到大分别为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上为增函数；见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据函数的单调性的定义，结合抽象函数的关系公式进行证明即可；

（Ⅱ）根据抽象函数关系，由进行转化得到，由在上为增函数，得到 ，利用数形结合进行得到，，求解.

（Ⅰ）在上为增函数，

证明：设，则，

则，

∵，当时，．

∴，即，

即，

所以在上为增函数；

（Ⅱ）由得，

又∵，∴，即，

∴，由（1）知在上单调递增，

∴，

所以题意等价于与的图象有三个不同的交点（如下图），则，

且，，，

∴，

令，

设，

则

，

∵，

∴，，，

∴，

即在上单调递增，

∴，即，

综上：的取值范围是