Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都为a，P为A₁B上的点．
（1）试确定的值，使得PC⊥AB；
（2）若，求二面角P-AC-B的大小；
（3）在（2）的条件下，求C₁到平面PAC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，直接根据PC⊥AB对应的数量积为0即可求出点P的位置；
（2）先根据条件求出点P的坐标，再求出两个平面的法向量，代入向量的夹角计算公式即可求出结论；
（3）直接利用公式h=||•cos＜＞计算即可．
解答：解：以A为原点，AB为X轴，过点A且与AB垂直的直线为Y轴，AA₁为Z轴，建立空间直角坐标系A-XYZ；
则B（a，0，0），A₁（0，0，a）；C（，a，0），P（x，0，x）；
（1）由=0⇒（x-，-a，z）•（a，0，0）=0，
即（x-）•a=0，x=，
所以：P为AB的中点；
即=1时，PC⊥AB；
（2）当时，即=，
得（x，0，z-a）=（a-x，0，-z）
⇒，
所以：P（，0，）．
设平面PAC的一个法向量=（b，c，d）
则⇒
即⇒；
取b=3，则c=-，d=-2．
∴=（3，-，-2），
又平面ABC的一个法向量=（0，0，1），
∴cos＜＞===-．
∴二面角P-AC-B的大小180°-120°=60°．
（3）设C₁到平面PAC的距离为h，
则h=||•cos＜＞===．
故C₁到平面PAC的距离为．
点评：本题是对立体几何知识的综合考察，其中涉及到点到面的距离，二面角，线线垂直等知识，属于综合性很强的题目，要认真分析．