Question

【题目】如图，在四面体中，已知，，

（1）求证：；

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用得出，取的中点，连结，，则，，得出平面，即可得证；（2）过作于点，由平面平面，推出平面，过做于点，连接，得出，得证平面，得出，从而可得为二面角的平面角，连接，则，由，，得出，，再由，，得出，从而求出，即可求出二面角的余弦值

试题解析：（1）证明：∵，，.

∴，

∴.

取的中点，连结，，则，.

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴.

（2）解：过作于点.则平面，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面.

过做于点，连接.

∵平面

∴

又，

∴平面

∴.

∴为二面角的平面角.

连接.

∵

∴.

∵，，

∴，.

∵，.

∴

∴.

∴

∴

∴二面角的余弦值为.