Question

(10分)选修4－1：几何证明选讲.

已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是的平分线交AE于点F，交AB于D点.

 (1) 求的度数；

 (2) 若AB=AC，求AC:BC.

 

Answer 1

【答案】

（1）；(2)

【解析】本题考查的知识点是圆周角定理，三角形外角定理，弦切角定理，相似三角形的证明及性质等，本题中未给出任何角的度数，故建立∠ADF必为特殊角，从而根据图形分析角∠ADF的大小，进而寻出解答思路是解题的关键．

（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC是∠ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；

（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1： 3，易得答案．

解：AC为圆O的切线,∴又知,DC是的平分线,

∴  ∴

即   又因为BE为圆O的直径, ∴

∴

(2),,∴∽∴

又AB=AC, ∴,

∴在Rt⊿ABE中,