Question

知圆C：（x-1）²+y²=2，过点A（-1，0）的直线l将圆C分成弧长之比为1：3的两段圆弧，则直线l的方程为________．

Answer 1

x-y+=0或x+y+=0
分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，连接CE，CF，过C作CD垂直于EF于点D，由圆C的方程找出圆心C的坐标和半径r，根据直线l将圆C分成弧长之比为1：3的两段圆弧，根据弧与圆心角的关系得到∠ECF为周角的，求出∠ECF为直角，又CE=CF，可得出三角形ECF为等腰直角三角形，由CE及CF的长，利用勾股定理求出EF的长，再利用垂径定理得到D为EF中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长，即为圆心距，设直线l的斜率为k，由A的坐标及k表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，让d等于CD的长列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出直线l的方程．
解答：根据题意画出相应的图形，如图所示：

连接CE，CF，过C作CD⊥EF于点D，
由圆的方程（x-1）²+y²=2，得到圆心C（1，0），半径r=，
∵直线l将圆C分成弧长之比为1：3的两段圆弧，
∴∠ECF=×360°=90°，又EC=FC=，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF==2，
∴CD=ED=FD=EF=1，
设直线l的斜率为k，由A（-1，0），得到直线l方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴圆心C到直线l的距离d==1，即k²=，
解得：k=±，
则直线l的方程为x-y+=0或x+y+=0．
故答案为：x-y+=0或x+y+=0
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，勾股定理，以及弦、弧、圆心角之间的关系，利用了数形结合的思想，是一道综合性较强的试题．