Question

已知圆C：（x+1）²+y²=8．
（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；
（2）如图，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，求点N的轨迹的内接矩形的最大面积．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆C：（x+1）²+y²=8，我们易求出圆的参数方程

x=-1+2 2 cosα y=2 2 sinα

α∈[0，2π），将问题转化为三角函数值域问题，利用辅助角公式，及正弦型函数的性质，易得到答案．
（2）由

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，易得NP为AM的垂直平分线，则|CN|+|AN|=2

2

＞2．则动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a=2

2

，焦距2c=2．由此可以得到N的轨迹方程，进而得到内接矩形的面积的最大值，由此即可得到答案．

解答：解：（1）∵点在圆C上，

∴可设

x=-1+2 2 cosα y=2 2 sinα

α∈[0，2π）；（2分）
x+y=-1+2

2

(cosα+sinα)=-1+4sin(α+

π

4

)，（4分）
从而x+y∈[-5，3]．（6分）
（2）∵

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0．
∴NP为AM的垂直平分线，
∴|NA|=|NM|．（8分）
又∵|CN|+|NM|=2

2

，∴|CN|+|AN|=2

2

＞2．
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆．（10分）
且椭圆长轴长为2a=2

2

，焦距2c=2．
∴a=

2

，c=1，b2=1．
∴点N的轨迹是方程为

x2

2

+y2=1．（12分）
所以N为椭圆，其内接矩形的最大面积为2

2

．（14分）

点评：本题考查的知识点是圆方程的综合应用，在求x+y的取值范围时，利用参数方程可以大大简化解题的难度．