Question

已知圆C：（x-1）²+y²=1，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：方法一：设出P（x，y）将位置关系CP⊥OQ转化为内积为0，用坐标表示向量，整理即得轨迹方程．
方法二：注意到：∵∠OPC=90°，动点P在以M(

1

2

，0)为圆心，OC为直径的圆上，故可以求出圆心与半径，写出圆的标准方程．
方法三：动弦PQ的方程为y=kx，与圆的方程联立，利用中点坐标公式与根系关系求出中点坐标的用参数k表示的参数方程，消去参数k得到点P的轨迹方程．

解答：解：（一）直接法：设OQ为过O的任一条弦P（x，y）是其中点，圆心C（1，0）
则CP⊥OQ，则

CP

•

OQ

=0
∴（x-1，y）（x，y）=0，即(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)
（二）定义法：∵∠OPC=90°，动点P在以M(

1

2

，0)为圆心，OC为直径的圆上，
∴所求点的轨迹方程为(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)
（三）参数法：设动弦PQ的方程为y=kx，由

y=kx (x-1)2+y2=1

得：（1+k²）x²-2x=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ的中点为（x，y），则：x=

x1+x2

2

=

1

1+k2

，y=kx=

k

1+k2

消去k得(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)．

点评：考查求轨迹方程的方法，同一个位置关系，因为着手的角度的不同，转化出了三个不同的方向，请读者认真体会这三种情况的同与不同．