题目内容
（2013•闵行区二模）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Qn-1Qn，…的长分别为a1，a2，a3，…，an，…，数列{an}的前n项的和为Sn．（1）求a1，a2；
（2）求an，Sn；
（3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{bn}的前n项和为Tn，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较Tp•Ts与Tq•Tr的大小．
分析：（1）根据等边三角形的性质，算出点P1(
，
)，代入抛物线求得a1=
，同样的方法可算出a2=
；
（2）由点Qn-1（Sn-1，0）建立直线Qn-1Pn的方程，与抛物线方程消去x得关于|y|的方程，解出|y|关于Sn的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得3
-2an=4Sn-1，用n+1代替n得到3
-2an+1=4Sn，将两式作差整理可得an+1-an=
，从而得到{an}是以
为首项、
为公差的等差数列，再用等差数列通项与求和公式可得an、Sn的表达式；
（3）由（2）得{bn}是公比q0=a
≠1、首项b1=a
=q0的正项等比数列．因此根据等比数列的求和公式，将Tp•Ts与Tq•Tr作差，结合正整数p，q，r，s成等差数列且p＜q＜r＜s，化简整理可得Tp•Ts-Tq•Tr=-
(
-1)(
-1)，
讨论所得结果的可得Tp•Ts-Tq•Tr＜0，可得必定有Tp•Ts＜Tq•Tr对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本题答案．
| a1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
（2）由点Qn-1（Sn-1，0）建立直线Qn-1Pn的方程，与抛物线方程消去x得关于|y|的方程，解出|y|关于Sn的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得3
| a | 2 n |
| a | 2 n+1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（3）由（2）得{bn}是公比q0=a
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| q | p 0 |
| q | d 0 |
| q | 2d 0 |
讨论所得结果的可得Tp•Ts-Tq•Tr＜0，可得必定有Tp•Ts＜Tq•Tr对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本题答案．
解答：解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为(
，
)，
又∵P1(
，
)在抛物线y2=x上，
∴
=
，得a1=
…（2分）
同理根据P2(
+
，-
)在抛物线y2=x上，可得a2=
…（4分）
（2）如图，因为点Qn-1的坐标为（a1+a2+a3+…+an-1，0），即点（Sn-1，0）（点Q0与原点重合，S0=0），
所以直线Qn-1Pn的方程为y=
(x-Sn-1)或y=-
(x-Sn-1)，
因此，点Pn的坐标满足
消去x得
y2-|y|-
Sn-1=0，所以|y|=
…（7分）
又|y|=an•sin60°=
an，故3an=1+
从而3
-2an=4Sn-1…①
由①有3
-2an+1=4Sn…②
②-①得3(
-
)-2(an+1-an)=4an
即（an+1+an）（3an+1-3an-2）=0，又an＞0，于是an+1-an=
所以{an}是以
为首项、
为公差的等差数列，an=a1+(n-1)d=
n
由此可得：Sn=
=
n(n+1)…（10分）
（3）∵
=
=a
，
∴数列{bn}是正项等比数列，且公比q0=a
≠1，首项b1=a
=q0，
∵正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，设其公差为d，则d为正整数，
∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d
则Tp=
，Tq=
，Tr=
，Ts=
…（12分）
Tp•Ts-Tq•Tr=
•[(1-
)(1-
)-(1-
)(1-
)]=
•[(
+
)-(
+
)]…（14分）
而(
+
)-(
+
)=
(
-1)-
(
-1)
=(
-1)(
-
)=(
-1)
(1-
)=-
(
-1)(
-1)…（16分）
由于a＞0且a≠1，可得q0=a
＞0且q0≠1，
又∵d为正整数，∴(
-1)与(
-1)同号，
因此，-
(
-1)(
-1)＜0，可得Tp•Ts＜Tq•Tr．
综上所述，可得若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，必定有Tp•Ts＜Tq•Tr．…（18分）
| a1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
又∵P1(
| a1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
3
| ||
| 4 |
| a1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
同理根据P2(
| 2 |
| 3 |
| a2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 4 |
| 3 |
（2）如图，因为点Qn-1的坐标为（a1+a2+a3+…+an-1，0），即点（Sn-1，0）（点Q0与原点重合，S0=0），
所以直线Qn-1Pn的方程为y=
| 3 |
| 3 |
因此，点Pn的坐标满足
|
消去x得
| 3 |
| 3 |
1+
| ||
2
|
又|y|=an•sin60°=
| ||
| 2 |
| 1+12Sn-1 |
从而3
| a | 2 n |
由①有3
| a | 2 n+1 |
②-①得3(
| a | 2 n+1 |
| a | 2 n |
即（an+1+an）（3an+1-3an-2）=0，又an＞0，于是an+1-an=
| 2 |
| 3 |
所以{an}是以
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
由此可得：Sn=
| (a1+an)n |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
（3）∵
| bn+1 |
| bn |
a
| ||
a
|
| 2 |
| 3 |
∴数列{bn}是正项等比数列，且公比q0=a
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∵正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，设其公差为d，则d为正整数，
∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d
则Tp=
b1(1-
| ||
| 1-q0 |
b1(1-
| ||
| 1-q0 |
b1(1-
| ||
| 1-q0 |
b1(1-
| ||
| 1-q0 |
Tp•Ts-Tq•Tr=
| ||
| (1-q0)2 |
| q | p 0 |
| q | p+3d 0 |
| q | p+d 0 |
| q | p+2d 0 |
| ||
| (1-q0)2 |
| q | p+d 0 |
| q | p+2d 0 |
| q | p 0 |
| q | p+3d 0 |
而(
| q | p+d 0 |
| q | p+2d 0 |
| q | p 0 |
| q | p+3d 0 |
| q | p 0 |
| q | d 0 |
| q | p+2d 0 |
| q | d 0 |
=(
| q | d 0 |
| q | p 0 |
| q | p+2d 0 |
| q | d 0 |
| q | p 0 |
| q | 2d 0 |
| q | p 0 |
| q | d 0 |
| q | 2d 0 |
由于a＞0且a≠1，可得q0=a
| 2 |
| 3 |
又∵d为正整数，∴(
| q | d 0 |
| q | 2d 0 |
因此，-
| q | p 0 |
| q | d 0 |
| q | 2d 0 |
综上所述，可得若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，必定有Tp•Ts＜Tq•Tr．…（18分）
点评：本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Qn-1QnPn的边长an的表达式，并设bn=aan，数列{bn}的前n项和为Tn，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论Tp•Ts与Tq•Tr的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．
练习册系列答案
相关题目