Question

【题目】已知函数

（I）讨论的单调性；

（II）当，是否存在实数，使得，都有？若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）当，在为增函数；当，在为增函数，在为减函数； （II） .

【解析】

（I）先求得函数的定义域，对其求导后对分成两类，讨论函数的单调区间.（II）将不等式等价转化为恒成立，构造函数，利用其导数恒为非负数列不等式，分离常数后利用基本不等式求得的取值范围.

（I） 的定义域为

，

当，则，在为增函数，

，令，解得或（舍去），

所以，当 ，，在为增函数；

当 ，，在为减函数，

综上所述，当，在为增函数；

当，在为增函数，在为减函数。

（II）不妨设，则，

假设存在实数，使得 ，都有，

则恒成立，

即恒成立，（*）

设，即（*）等价于在为单调递增

等价于在恒成立，

等价于在恒成立，

等价于在恒成立，

∴，当且仅当取等号，

∴，∴的取值范围为