Question

【题目】已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为.

（1）当切线的长度为时，求点的坐标；

（2） 若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由.

（3）求线段长度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据圆的标准方程，求得半径和圆心坐标，设，从而由条件可求出，即可求解的值，得到点的坐标；（2）设，由经过三点的圆以为直径，化简圆的方程，从而建立关于的方程，求得，即可得到圆过定点的坐标；（3）可写出圆和圆的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦的直线方程，进而求出原先到直线的距离，从而求出弦长，即可得到的最小值，并求出最小值.

试题解析：（1）由题意知，圆的半径 ,设是圆的一条切线， ，

解得 或.

（2）设经过三点的圆以为直径，

其方程为，即，

由，解得或，圆过定点.

（3）因为圆方程为,即，圆，即，

由（2）-（1）得：圆方程与圆相交弦所在直线方程为：，点到直线的距离，

相交弦长即：.

当时，有最小值.