Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB、PC的中点．若ABCD是平行四边形．
（1）求证：MN∥平面平面PAD；
（2）若点Q是PB上点，PA∥平面QMN，求证Q是PB中点．

Answer 1

分析 （1）取CD的中点E，连接ME，NE，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，进而得到NE∥平面PAD．由M是线段AB的中点，E是CD的中点，利用平行四边形的性质可得四边形AMED是平行四边形，可得ME∥平面PAD．进而得到平面MNE∥平面PAD，利用面面平行的性质可得MN∥平面PAD．
（2）由PA∥平面QMN，可证PA∥QM，又M为AB的中点，即可证明Q为PB的中点．

解答 证明：（1）取CD的中点E，连接ME，NE．
由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，
∵NE?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，
∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵点Q是PB上点，PA∥平面QMN，
∵PA?平面PAB，平面PAB∩平面QMN=QM，
∴PA∥QM，
∵M为AB的中点，
∴Q为PB的中点．

点评 熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理是解题的关键，属于中档题．