Question

11．已知x≤-$\frac{1}{2}$，则二元函数f（x，y）=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$+$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$的最小值是$\frac{\sqrt{26}}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值为$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$，$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$的最小值为$\frac{\sqrt{13}}{2}$，f（x，y）_min=$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$的最小值，利用几何意义及对称，即可得出结论．

解答 解：由题意，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值为$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$，$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$的最小值为$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴f（x，y）_min=$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$的最小值
设f（y）=$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$=$\sqrt{（y-0）^{2}+（0-\frac{1}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（y-1）^{2}+（0-2）^{2}}$，
表示（0，y）与（$\frac{1}{2}$，0），（2，1）的距离的和，取（2，1）关于y轴的对称点（-2，1）与（$\frac{1}{2}$，0）的距离为$\frac{\sqrt{26}}{2}$，此时y=$\frac{1}{5}$，
∴f（x，y）_min=$\frac{\sqrt{26}}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{26}}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查函数的最小值，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．