Question

已知直线y=2x+1与抛物线x²=4y交于A，B两点，O为坐标原点．点C位于抛物线弧AOB上，求点C坐标使得△ABC面积最大．

Answer 1

分析：直线为y=2x+1，要使得内接△ABC面积最大，则只须使得过C（x_c，y_c）点的切线与直线y=2x+1平行，由导数的性质能求出C位于（4，4）点处时，△ABC面积最大．

解答：解：∵直线为y=2x+1，
∴要使得内接△ABC面积最大，则只须使得过C（x_c，y_c）点的切线与直线y=2x+1平行，
∵x²=4y，
∴y=

x2

4

，
∵y′=

1

4

×2x，直线y=2x+1的斜率为2，
∴过C（x_c，y_c）点的切线斜率k=y_c^′=

1

4

×2xc=2，
解得x_c=4，则可得y_c=4
∴C位于（4，4）点处时，△ABC面积最大．

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．