Question

【题目】设函数，.

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)当时，函数恰有两个零点，证明：

Answer 1

【答案】(1) 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）对函数求导，令， ，分，判断出单调性；（2）采用综合分析法证明， 由已知条件求出 ，要证明，即证，即证 ，令，通过证明，得出结论。

详解： (Ⅰ).

∵，∴由，得，即.

若，当变化时，，的变化情况如下表

	单调递减	极小值	单调递增

若，当变化时，，的变化情况如下表：

	+	0	-
	单调递增	极大值	单调递减

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

(Ⅱ)∵当时，函数恰有两个零点， ，

则，即.

两式相减，得

∵，∴，∴，∴.

∴要证，即证，即证

即证

令 ，则即证.

设，即证在恒成立.

.

∵在恒成立.∴在单调递增.

∵在是连续函数，

∴当时，

∴当时，有.