Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB中点，PC＝3PE.

（1）求证：平面ADE⊥平面PBC；

（2）在AC上是否存在一点M，使得MB∥平面ADE？若存在，请确定点M的位置，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）存在，是中点；证明见解析

【解析】

（1）根据已知可得，，可证BC⊥平面PAB，进而BC⊥AD，根据已知可得AD⊥PB，AD⊥平面PBC，即可证明结论；

（2）存在M是AC中点时，MB∥平面ADE，取EC中点F，连结BM，MF，可证

平面，平面，进而证明平面平面，即可证明结论.

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴BC⊥PA，

平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，平面PAB，∴BC⊥AD，

∵PA＝AB，D为PB中点，∴AD⊥PB，

平面，∴AD⊥平面PBC，

∵AD平面ADE，∴平面ADE⊥平面PBC.

（2）点M是AC中点时，MB∥平面ADE，证明如下：

取EC中点F，连结BM，MF，

因为分别为的两个三等分点，

在中，平面，

平面平面，

同理平面，又平面，

平面平面，平面，

平面.