Question

22．已知,其中,设,.

(I) 写出;

(II) 证明:对任意的,恒有.

Answer 1

本小题主要考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

（Ⅰ）解：由已知推得f_k（x）=（n-k+1）x^n-k，从而有

f_k(1)=n-k+1.

（Ⅱ）证法一：当-1≤x≤1时，

F（x）=x²ⁿ+nx^{2 (n-1)} +（n-1）x^2(n-2)+…+（n-k+1）x^2(n-k)+…+2x²+1.

当x＞0时，F′（x）＞0，所以F（x）在［0，1］上是增函数.

又F（x）是偶函数，所以F（x）在［-1，0］上是减函数.

所以对任意的x₁，x₂∈［-1，1］，恒有

|F（x₁）-F（x₂）|≤F（1）- F（0）.  

F(1)-F(0)= +n+(n-1) +…+（n-k+1）+…+2

        =n +(n-1) +…+（n-k+1）+…+2+.

∵(n-k+1)  =(n-k)  +

                  

                    =n + (k=1,2,…，n-1).

∴F(1)-F(0)=n(++…+ )+( + +…+)+

               =n(2^n-1-1)+2ⁿ-1

          =2 ^n-1(n+2)-n-1.

因此结论成立.

证法二：当-1≤x≤1时，

F（x）=x²ⁿ+nx^2(n-l)+（n-1）x^2(n-2)+…+(n-k+1) x^2(n-k)+…+2 x²+1.

当x＞0时，F′（x）＞0，所以F（x）在［0，1］上是增函数，

又F（x）是偶函数，所以F（x）在［-1，0］上是减函数.

所以对任意的x₁，x₂∈［-1，1］，恒有

|F（x₁）- F（x₂）|≤F（1）- F（0）.

F（1）-F（0）=C+n +（n-1）C+…+（n-k+1） +…+2C，

又∵F（1）-F（0）=2C+3C+…+nC+，

∴2（F（1）-F（0））=（n+2）（ +C+…+C）+2，

∴F（1）- F（0）=（n+2）（ +C+…+C）+1

=（n+2）·+1

=2^n-1（n+2）-n-1.

因此结论成立.

证法三：当-1≤x≤1时，

F（x）=x²ⁿ+nC+（n-1）Cx+…+（n-k+1）C+…+2Cx²+1，

当x＞0时，F′（x）＞0，所以F（x）在［0，1］上是增函数.

又F（x）是偶函数，所以F（x）在［-1，0］上是减函数.

所以对任意的x₁、x₂∈［-1，1］，恒有

|F（x₁）-F（x₂）|≤F（1）-F（0）.

Cf_k（x²）=（n-k+1）Cx

          =（n-k）Cx+Cx（k=1，2，…，n-1）.

由（n-k）C=（n-k）·，得

F（x）=nx²［C+…+C］+x²ⁿ+C+…+C

=nx²［（1+x²）^n-1-x］+（1+x²）ⁿ，

∴F（1）-F（0）=n（2^n-1-1）+2ⁿ-1=2^n-1（n+2）-n-1.

因此结论成立.

证法四：当-1≤x≤1时，

F（x）=x²ⁿ+nC+（n-1）C+…+（n-k+1）C+…+2Cx²+1.

当x＞0时，F′（x）＞0，所以F（x）在［0，1］上是增函数.

又F（x）是偶函数，所以F（x）在［-1，0］上是减函数.

所以对任意的x₁，x₂∈［-1，1］，恒有

|F（x₁）-F（x₂）|≤F（1）-F（0）.

∵x［（1+x）ⁿ-xⁿ］=x［C…+C+…+C］

               =C……+C

对上式两边求导，得

［（1+x）ⁿ-xⁿ］+x［n（1+x）^n-1-nx^n-1］

=nC…+（n-k+1）C…+3，

∴(1+x)ⁿ+x［n(1+x)^n-1-nx^n-1］

=xⁿ+nx^n-1+(n-1) x^n-2+…+(n-k+1) x^n-k+…+3x²+2x+1.

∴F（x）=（1+x²）ⁿ+x²［n（1+x²）^n-1-nx］.

∴F（1）-F（0）=2^n-1（n+2）-n-1.

因此结论成立.