题目内容

现有若干颗形状完全相同的玻璃球，已知其中一颗略重，其余各颗重量均相同，要求
使用天平（不用砝码）将略重的那颗玻璃球找出来．小龙的方案是：首先任取两颗放在天平的两侧进行称量，若天平不平衡，则重的那边为略重的那颗玻璃球，若天平平衡，则两颗都取下，从剩下的玻璃球中再任取两颗放在天平两侧进行称量，如此进行下去，直到找到那颗略重的玻璃球为止．若小龙恰好在第一次就找出略重的那颗玻璃球的概率为

2

7

．
（1）请问共有多少颗玻璃球？
（2）设ξ为找到略重的那颗玻璃球时已称量的次数，求ξ的分布列与数学期望．

分析：（1）根据小龙恰好在第一次就找出略重的那颗玻璃球的概率为

2

7

，建立方程，可求玻璃球的个数；
（2）确定ξ的取值可以为1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

解答：解：（1）设共有n颗玻璃球，则

C

1

n-1

C

2

n

=

2

7

，∴n=7
（2）ξ的取值可以为1，2，3，则
P（ξ=1）=

C

1

6

C

2

7

=

2

7

，P（ξ=2）=

C

2

6

C

2

7

×

C

1

4

C

2

5

=

2

7

，P（ξ=3）=

C

2

6

C

2

7

×

C

2

4

C

2

5

×

C

1

3

C

2

3

=

3

7

∴ξ的分布列为

ξ

1

2

3

P

2

7

2

7

3

7

数学期望Eξ=1×

2

7

+2×

2

7

+3×

3

7

=

15

7

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是确定变量的取值，正确求出概率．

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．
（I ）请问共有多少枚硬币？
（II）设ξ为找到略重那枚硬币时己称量的次数，求ξ的分布列和数学期望．

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．
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