Question

已知定义域为D的函数y=f（x），若对于任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立，那么称函数y=f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=2sin（x+）；     
③f（x）=x³-2x²+x；    
④f（x）=，
其中是“倍约束函数”的是    ．（将你认为正确的函数序号都填上）

Answer 1

【答案】分析：对于任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立?≤k，对①②③④逐个分析判断即可．
解答：解：①∵f（x）=2x，
∴存在正数2，都有==2≤2，
∴①是“倍约束函数”；
②f（x）=2sin（x+），
∵x→0⁺时=→+∞，故不存在正数k使得对于任意x∈D，都有|f（x）|≤K|x|成立，
∴②不是“倍约束函数”；
f（x）=x³-2x²+x，当x→+∞=|x²-2x+1|→+∞，故不存在正数k使得对于任意x∈D，都有|f（x）|≤K|x|成立，
∴③不是“倍约束函数”；
④（x）=，=||=，而||≤，f故存在正数使得对于任意x∈D，都有|f（x）|≤|x|成立，
∴④是“倍约束函数”；
综上所述，是“倍约束函数”的是①④．
故答案为：①④
点评：本题考查函数的最值及其几何意义，将|f（x）|≤K|x|成立转化为≤k，是关键，考查学生分析问题与综合应用的能力，属于难题．