Question

已知定义域为D的函数f（x），如果对任意x∈D，存在正数k，都有f（x）≤k|x|成立，那么称函数f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：
①f（x）=2x；
②f(x)=2sin(x+

π

4

)；
③f(x)=

x-1

；
④f（x）=

x

x2-x+1

．
其中是“倍约束函数”的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①f（x）=2x≤2|x|；
②不存在正数k，f(x)=2sin(x+

π

4

)≤k|x|成立；
③

f(x)

|x|

=

1 x - 1 x2

=

-( 1 x - 1 2 )2+ 1 4

≤

1

2

，所以f（x）≤

1

2

|x|成立；
④x≠0时，f（x）≤

4

3

x≤

4

3

|x|；x=0时，也成立．

解答：解：①∵f（x）=2x≤2|x|，∴函数f（x）是定义域上的“倍约束函数”；
②不存在正数k，f(x)=2sin(x+

π

4

)≤k|x|成立，∴函数f（x）不是定义域上的“倍约束函数”；
③∵x≥1，∴

f(x)

|x|

=

1 x - 1 x2

=

-( 1 x - 1 2 )2+ 1 4

≤

1

2

，∴f（x）≤

1

2

|x|成立，∴函数f（x）是定义域上的“倍约束函数”；
④x≠0时，

f(x)

x

=

1

x2-x+1

=

1

(x- 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，∴f（x）≤

4

3

x≤

4

3

|x|；x=0时，也成立，∴函数f（x）是定义域上的“倍约束函数”；
故选C．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．