Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A₁B₂与直线B₁F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：解法一：可先直线A₁B₂的方程为

x

-a

+

y

b

=1，直线B₁F的方程为

x

c

+

y

-b

=1，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；
解法二：对椭圆进行压缩变换，x′=

x

a

，y′=

y

b

，椭圆变为单位圆：x^'2+y^'2=1，F'（

c

a

，0）．根据题设条件求出直线B₁T方程，直线直线B₁T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．

解答：解法一：由题意，可得直线A₁B₂的方程为

x

-a

+

y

b

=1，直线B₁F的方程为

x

c

+

y

-b

=1
两直线联立则点T（

2ac

a-c

，

b(a+c)

(a-c)

），则M（

ac

a-c

，

b(a+c)

2(a-c)

），由于此点在椭圆上，故有

c2

(a-c)2

+

(a+c)2

4(a-c)2

=1，整理得3a²-10ac-c²=0
即e²+10e-3=0，解得e=2

7

-5
故答案为e=2

7

-5
解法二：对椭圆进行压缩变换，x′=

x

a

，y′=

y

b

，
椭圆变为单位圆：x^'2+y^'2=1，F'（

c

a

，0）．
延长TO交圆O于N，易知直线A₁B₂斜率为1，TM=MO=ON=1，A1B2=

2

，
设T（x′，y′），则TB2=

2

x′，y′=x′+1，
由割线定理：TB₂×TA₁=TM×TN，

2

x′(

2

x′+

2

)   =1×3，
x′=

7 -1

2

（负值舍去），y′=

7 +1

2

易知：B₁（0，-1），直线B₁T方程：

y′+1

x′

=

7 +1 2 +1

7 -1 2

令y′=0
x′=2

7

-5，即F横坐标
即原椭圆的离心率e=

c

a

=2

7

-5．
故答案：2

7

-5．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．