题目内容
如图，直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
(1)求证AE⊥平面BCE；
(2)求二面角B－AC－E的大小；
(3)求点D到平面ACE的距离．
答案：
解析：
解析：
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解法一：(1) ∵二面角D－AB－E为直二面角，且 (2)连结BD交AC于C，连结FG， ∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG＝ 由(Ⅰ)AE⊥平面BCE，又 ∴在等腰直角三角形AEB中，BE＝ ∴二面角B－AC－E等于 (3)过点E作 ∵二面角D－AB－E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD． 设D到平面ACE的距离为h， ∴点D到平面ACE的距离为
解法二：(Ⅰ)同解法一． (Ⅱ)以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图．
则 解得 令 又平面BAC的一个法向量为 ∴二面角B－AC－E的大小为 (Ⅲ)∵AD∥z轴，AD＝2，∴ ∴点D到平面ACE的距离 |
平面ACE．
，
平面ABE．
4分
，
平面ACE，由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC．
是二面角B－AC－E的平面角．
，
．又
直角
，
8分
交AB于点O．OE＝1．
平面BCE，
12分
面BCE，BE
面BCE，
，在
的中点，
设平面AEC的一个法向量为
，
得
是平面AEC的一个法向量．
，
，
练习册系列答案
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