Question

（2011•唐山一模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，AA_i=3，∠ACB=90°，D为CC_i上的点，二面角A-A₁B-D的余弦值为-

3

6

．
（I ）求证：CD=2；
（II）求点A到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量垂直时数量积等于0求得示向量，
（1）设D（0，0，a）．利用向量数量积求出二面角公式得到关于a的方程，再解方程即可求得CD的长．
（2）由（Ⅰ）得出，n=（1，-2，-1）为面A₁BD的法向量，又

AA1

=（0，0，3），结合点A到平面A₁BD的距离即可求解．

解答：解：（Ⅰ）分别以CA、CB、CC₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz，
则A（1，0，0）、B（0，1，0）、A₁（1，0，3）．设D（0，0，a）．
m=（1，1，0）是面A₁AB的法向量，设n=（x，y，z）是平面A₁BD的法向量．

DA1

=（1，0，3-a），

DB

=（0，1，-a），
由

DA1

•n=0，

DB

•n=0，得x+（3-a）z=0，y-az=0，取x=3-a，得y=-a，z=-1，得n=（3-a，-a，-1）．（4分）
由题设，|cos＜m，n＞|=

|m•n|

|m||n|

=

|3-2a|

2 × (3-a)2+a2+1

=|-

3

6

|=

3

6

，解得a=2，或a=1，（6分）
所以DC=2或DC=1．但当DC=1时，显然二面角A-A₁B-D为锐角，故舍去．
综上，DC=2（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），n=（1，-2，-1）为面A₁BD的法向量，又

AA1

=（0，0，3），
所以点A到平面A₁BD的距离为d=

| AA1 •n|

|n|

=

6

2

．（12分）

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．