Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁，二面角A-BD-C的大小为

π

3

．
（Ⅰ）证明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求B₁C与平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（I）证明四边形AMED为平行四边形，可得DF∥AM，利用线面平行的判定定理，可得DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求B₁C与平面BCD所成的线面角，只需求点B₁到面BDC的距离即可．

解答：（I）证明：取BC的中点M，连接AM，EM，则
DA平行且等于

1

2

BB₁，EM平行且等于

1

2

BB₁
∴DA∥EM，DA=EM
∴四边形AMED为平行四边形
∴DF∥AM
∵DF?平面ABC，AM?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（Ⅱ）解：求B₁C与平面BCD所成的线面角，只需求点B₁到面BDC的距离即可．
作AG⊥BD于G，连GC，则GC⊥BD，∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，∠AGC=60°
不妨设AC=2

3

，则AG=2，GC=4
在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得AD=

6

设点B₁到面BDC的距离为h，B₁C与平面BCD所成的角为α．
利用

1

3

S△B1BC•DE=

1

3

S△BCDh，可求得h=2

3

，又可求得B1C=4

3

，
∴sinα=

1

2

，∴α=30°．
即B₁C与平面BCD所成的角为30°．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．