Question

直线

x

a

+

y

b

=1通过点M（cosα，sinα），则

1

a2

+

1

b2

取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据点M（cosα，sinα）在单位圆 x²+y²=1上，故直线

x

a

+

y

b

=1和单位圆 x²+y²=1有公共点，可得圆心到直线的距离

1

( 1 a )2+( 1 b )2

≤1，从而得到

1

a2

+

1

b2

取值范围．

解答：解：由于直线

x

a

+

y

b

=1通过点M（cosα，sinα），∴

cosα

a

+ 

sinα

b

=1，
又点M（cosα，sinα），在单位圆 x²+y²=1上，故 直线

x

a

+

y

b

=1和单位圆 x²+y²=1有公共点，
∴圆心到直线的距离  

1

( 1 a )2+( 1 b )2

≤1，∴

( 1 a )2+( 1 b )2

≥1，
故答案为[1，+∞）．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断直线

x

a

+

y

b

=1和单位圆 x²+y²=1有公共点，是解题的关键．