题目内容
13．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{2x+y-3≤0}\end{array}\right.$，$\overrightarrow{a}$=（y，m+x），$\overrightarrow{b}$=（1，2），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则m的最小值为（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
分析 由约束条件作出可行域，利用向量共线得到目标函数m=-x+2y，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{2x+y-3≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=0}\\{x+2y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由$\overrightarrow{a}$=（y，m+x），$\overrightarrow{b}$=（1，2），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，得
m=-x+2y，化为$y=\frac{x}{2}+\frac{m}{2}$，
由图可知，当直线$y=\frac{x}{2}+\frac{m}{2}$过A时，直线在y轴上的截距最小，m有最小值为-1+2×1=1．
故选：A．
点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
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| A． | $\frac{5π}{24}$ | B． | $\frac{13π}{24}$ | C． | $\frac{17π}{24}$ | D． | $\frac{23π}{24}$ |