题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为2+
3
．
（I）求椭圆C的方程；
（II）斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，定点A（0，1），若|AM|=|AN|，求直线l的斜率k的取值范围．
分析：（I）利用椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为2+
3
，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）利用点差法，结合|AM|=|AN|，可得AE⊥MN，从而可得E的坐标，利用E在椭圆内部，建立不等式，即可求直线l的斜率k的取值范围．
解答：解：（I）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为2+
3

∴
c
a
=
3
2
a+c=2+
3
，∴
c=
3
a=2
，∴b=1
∴椭圆C的方程为C：
x2
4
+y2=1…（4分）
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），其中点E（x0，y0），则
x
2
1
+4
y
2
1
=4
x
2
2
+4
y
2
2
=4

两方程相减可得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0
∴x0+4y0k=0①
又AE⊥MN，故
y0-1
x0
=-
1
k
，即x0+ky0=k②
由①②知，
x0=
4k
3
y0=-
1
3
，即E(
4k
3
，-
1
3
)，…（8分）
∵E在椭圆内部，∴
4k2
9
+
1
9
＜1
∴k2＜2…（10分）
又k≠0，故k∈(-
2
，0)∪(0，
2
)…（12分）
点评：本题考查椭圆的性质与标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网