Question

若x、y满足

x+y≥4 x≤4 y≤4

，求目标函数的最值：
（1）z₁=x+2y；
（2）z₂=x-2y；
（3）z₃=

y+2

x+1

；
（4）z₄=

y

x

；
（5）z₅=

(x+1)2+(y+2)2

；
（6）z₆=（x+2）²+（y+3）²；
（7）z₇=x²+y²．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：计算题,作图题,不等式的解法及应用

分析：由题意作出其平面区域，
（1）化z₁=x+2y为y=-

1

2

x+

1

2

z₁，

1

2

z₁是y=-

1

2

x+

1

2

z₁的截距，从而解得；
（2）化z₂=x-2y为y=

1

2

x-

1

2

z₂，同上；
（3）z₃=

y+2

x+1

的几何意义是阴影内的点与点（-1，-2）的斜率；
（4）z₄=

y

x

的几何意义是阴影内的点与点（0，0）的斜率；
（5）z₅=

(x+1)2+(y+2)2

的几何意义是阴影内的点与点（-1，-2）的距离，
（6）z₆=（x+2）²+（y+3）²的几何意义是阴影内的点与点（-2，-3）的距离的平方；
（7）z₇=x²+y²的几何意义是阴影内的点与点（0，0）的距离的平方．

解答： 解：由题意作出其平面区域，

（1）化z₁=x+2y为y=-

1

2

x+

1

2

z₁，
故当过点D（4，4）时有最大值12，
当过点E（4，0）时有最小值4；
（2）化z₂=x-2y为y=

1

2

x-

1

2

z₂，
故当过点E（4，0）时有最大值4，
过点D（4，4）时有最小值4-8=-4；
（3）z₃=

y+2

x+1

的几何意义是阴影内的点与点（-1，-2）的斜率，
故

0+2

4+1

≤

y+2

x+1

≤

4+2

0+1

，
即z₃=

y+2

x+1

的最大值为6，最小值

2

5

；
（4）z₄=

y

x

的几何意义是阴影内的点与点（0，0）的斜率；
最小值为0，没有最大值；
（5）z₅=

(x+1)2+(y+2)2

的几何意义是阴影内的点与点（-1，-2）的距离，
故最大值为

(4+1)2+(4+2)2

=

61

，
最小值为

|-1-2-4|

2

=

7 2

2

；
（6）z₆=（x+2）²+（y+3）²的几何意义是阴影内的点与点（-2，-3）的距离的平方；
故最大值为（4+2）²+（4+3）²=85；
最小值为(

|-2-3-4|

2

)2=

81

2

；
（7）z₇=x²+y²的几何意义是阴影内的点与点（0，0）的距离的平方．
故最大值为4²+4²=32；
最小值为（2

2

）²=8．

点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于难题．