Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据抛物线定义可利用构造关于的方程，从而求得抛物线方程；（Ⅱ）设，，根据可求得，从而得到，假设方程，与抛物线方程联立，利用可求得，从而利用表示出点坐标；分别在和两种情况下得到直线方程，从而得到所过定点.

（Ⅰ）由题意知：

由抛物线的定义知：，解得：

抛物线的方程为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

设，

由得：，故 直线的斜率为

直线和直线平行

可设直线的方程为，代入抛物线方程得：

由题意知：得：

设，则，

当时，

可得直线的方程为：，

由，整理可得： 直线恒过点

当时，直线的方程为：，过点

直线恒过定点