题目内容
2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$=（-2sinx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx-sinx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时的值域；
（Ⅱ）已知数列an=n2f（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{11π}{24}$）（n∈N+），求{an}的前2n项和S2n．
分析 （Ⅰ）利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可求2x+$\frac{2π}{3}$的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值域．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得an=2n2sin（n$π-\frac{π}{4}$），可求得S2n=$\sqrt{2}$[12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2]，利用（2n-1）2-（2n）2=-4n+1，由等差数列的求和公式即可得解．
解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，2x+$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
可得：2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]…4分
（Ⅱ）∵an=n2f（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{11π}{24}$）=2n2sin[2（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{11π}{24}$）+$\frac{2π}{3}$]=2n2sin（n$π-\frac{π}{4}$），
∴S2n=$\sqrt{2}$[12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2]，
又∵（2n-1）2-（2n）2=-4n+1，
∴解得：S2n=$\sqrt{2}$×$\frac{（-3-4n+1）n}{2}$=$\sqrt{2}$（-2n2-n）…10分
点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
| A． | $\frac{5}{6}$ | B． | 6 | C． | $\frac{1}{6}$ | D． | 5 |
| A． | （-$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}$） | B． | （-$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$） | C． | （-$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{5}$） | D． | （-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5}$） |
| A． | $\left\{\begin{array}{l}{0≤y≤1}\\{2x-y+2≤0}\end{array}\right.$ | B． | $\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{2x-y+2≤0}\end{array}\right.$ | ||
| C． | $\left\{\begin{array}{l}{0≤y≤1}\\{2x-y+2≥0}\\{x≤0}\end{array}\right.$ | D． | $\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{x≤0}\\{2x-y+2≤0}\end{array}\right.$ |
| A． | $\frac{1}{{2}^{5}}$ | B． | $\frac{1}{{2}^{4}}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 2 |