题目内容

已知函数f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x₀处取得极小值，x₀∈（1，3），求a的取值范围．

解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+6ax+3-6a
由f（0）=12a-4，f′（0）=3-6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3-6a）x+12a-4，
当x=2时，y=2（3-6a）+12a-4=2，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得
x²+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判别式
$\text{[math]}$
①当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）没有极小值
②当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，
由f′（x）=0得 $\text{[math]}$
故x₀=x₂，由题设可知 $\text{[math]}$
（i）当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 没有实数解；
（ii）当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$
化为 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
综合①②，得a的取值范围是 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；
（Ⅱ）f（x）在x=x₀处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x₀∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围
点评：将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．