题目内容
记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x）．如果存在x∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（x）（b-a）成立，则称x为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x3-3x在区间[-2，2]上“中值点”的个数为 ．
【答案】分析：利用导数的运算法则得出f′（x），分别计算出f（2）-f（-2），2-（-2），利用f（2）-f（-2）=f′（x）[2-（-2）]，即可解出．
解答：解：∵函数f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3．
又f（2）-f（-2）=23-3×2-[（-2）3-3×（-2）]=4，2-（-2）=4．
设x∈[-2，2]为函数f（x）在区间[-2，2]上的“中值点”．
则4f′（x）=4，得f′（x）=1．
∴
，解得
．
∴函数f（x）=x3-3x在区间[-2，2]上“中值点”为
，其个数为2．
故答案为2．
点评：正确理解“中值点”，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．
解答：解：∵函数f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3．
又f（2）-f（-2）=23-3×2-[（-2）3-3×（-2）]=4，2-（-2）=4．
设x∈[-2，2]为函数f（x）在区间[-2，2]上的“中值点”．
则4f′（x）=4，得f′（x）=1．
∴
，解得．∴函数f（x）=x3-3x在区间[-2，2]上“中值点”为
，其个数为2．故答案为2．
点评：正确理解“中值点”，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．
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