Question

（2013•盐城三模）记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x）．如果存在x₀∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（x₀）（b-a）成立，则称x₀为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x³-3x在区间[-2，2]上“中值点”的个数为

2

．

Answer 1

分析：利用导数的运算法则得出f^′（x），分别计算出f（2）-f（-2），2-（-2），利用f（2）-f（-2）=f′（x₀）[2-（-2）]，即可解出．

解答：解：∵函数f（x）=x³-3x，∴f^′（x）=3x²-3．
又f（2）-f（-2）=2³-3×2-[（-2）³-3×（-2）]=4，2-（-2）=4．
设x₀∈[-2，2]为函数f（x）在区间[-2，2]上的“中值点”．
则4f^′（x₀）=4，得f^′（x₀）=1．
∴3

x

2 0

-3=1，解得x0=±

2 3

3

．
∴函数f（x）=x³-3x在区间[-2，2]上“中值点”为±

2 3

3

，其个数为2．
故答案为2．

点评：正确理解“中值点”，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．