Question

已知点F(1，0)，直线l:x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=d,≤d≤.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若·=，求向量与的夹角.

Answer 1

(1) 轨迹方程为+y²=1(≤x≤).

(2) θ=arccos

解析:

(1)根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,=2,∴a=.

e===满足|PF|=d.

∴P点的轨迹为+=1.

又d=－x,且≤d≤,

∴≤2－x≤.∴≤x≤.

∴轨迹方程为+y²=1(≤x≤).

(2)由(1)可知，P点的轨迹方程为+y²=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x₀,y₀).

=(1,0),=(x₀,y₀),=(1－x₀,－y₀).

∵·=,∴1－x₀=.

∴x₀=,y₀=±.

又·=||·||·cosθ,

∴1·x₀+0·y₀=·1·cosθ.

∴cosθ====.

∴θ=arccos.